La Mathématique
Introduction
1. L'objet de la mathématique
2. Le raisonnement mathématique
3. L'axiomatique
4. La mathématisation
5. L'essence de la mathématique
6. Rationalité du monde ?
Conclusion
Vers le milieu du XX° les mathématiciens (Bourbaki) ont unifié les différentes théories mathématiques et parlent de : "la mathématique" au singulier.
La mathématique fait partie d'un univers complètement abstrait, pur produit de l’esprit humain, sans référence au réel.
Surprise, la mathématique s’adapte au monde réel, en en exprimant la structure !
Quel lien y a-t-il entre l’intelligence humaine logique et l’ordre du monde ?
Le cerveau humain reflète-t-il la complexité du réel dont il est le produit ? La mathématique est-elle "tissée" à partir d'un modèle biologique ? Exprime-t-elle l'ordre du monde ou seulement une partie de l'ordre du monde ?
1. L'objet de la mathématique |
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A. La mathématique Concrète = science des grandeurs.
Grandeur : Ce qui est susceptible d'un plus ou d'un moins, donc mesurable. La mesure s'exprime à l'aide se nombres. Cette grandeur quantitative n'a rien à voir avec les différentes qualités, les valeurs axiologiques comme par exemple le beau, le vrai, le bien, le sacré, qui ne sont ni mesurables ni quantifiables.
Le Mathématicien s'intéresse essentiellement à l'espace et au mouvement.
Il est facile de déterminer une unité (de longueur par exemple) et de définir l'égalité (ensembles composées des mêmes éléments). La nécessité de l'arpentage des terres, surtout en Egypte après chaque crue du Nil a probablement donné naissance à la Géométrie. La Mécanique est une science qui étudie les forces, les mouvements, l'équilibre et la théorie des machines.
B. La mathématique "pure" = science du nombre et de l'ordre
- Le NOMBRE est une abstraction pure de la grandeur, il exprime une quantité. La science des nombres est l'arithmétique, l'algèbre, le calcul infinitésimal.
- L'ORDRE
Etude de la loi des compositions des symboles mathématiques. Théorie des groupes ( E. Galois XIX ). Topologie.
- L'ESPACE
" Le nombre d'un côté, le contenu spatial de l'autre constituent les deux pôles de la pensée mathématique, entre lesquels une série d'échanges croissants tissent une série inextricable de systèmes et de réciprocité". Piaget, Introduction à l'Epistémologie.
L'apparition de la Mathématique est tardive.
Elle commence par les "calculs" pour lesquels on utilisait des petits cailloux. Dans la Chine ancienne, utilisation, phalanges des doigts de la main pour des calculs compliqués, puis relais par les bouliers à cinq boules.
Vers - 2000 à Babylone, en Egypte (probablement leurs connaissances mathématiques ne sont pas encore découvertes à ce jour. La construction des pyramides impliquerait des calculs tellement savants qu'ils offriraient la possibilité de cliver l'espace local et l'espace global.
-V°, -III°, Pythagore, Euclide, Thalès, Aristarque de Samos étaient déjà de grands mathématiciens. Au fil du temps la mathématique s'est extraordinairement complexifiée.
2. Le raisonnement mathématique |
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1. La matière première de la mathématique est abstraite : elle suppose la notion d'espace, la notion de nombre et celle d'ordre. Ces trois notions n'impliquent nullement une référence au réel. Elles peuvent être de pures constructions mentales. Un aveugle peut faire de la mathématique seulement "dans sa tête", sans tableau noir, ni feuille de papier.
Les principes utilisés sont les principes logiques et les principes mathématiques.
a. Les principes logiques (principe d'identité, de non-contradiction, du tiers exclus ont déjà été examinés au cours de logique.
b. Les principes mathématiques, étaient autrefois :
1. Les axiomes. 2. Les postulats. 3. Les définitions.
1. L'axiome était défini comme une propriété évidente par elle-même mais indémontrable.
Par exemple "Le Tout est plus grand que la partie".
2. Le postulat (du Latin postulare) était une proposition évidente que le mathématicien demandait d'accepter comme point de départ : exemple de postulat de la géométrie euclidienne : "Par un point extérieur à une ligne droite, il ne passe qu'une parallèle à cette ligne, et une seule", Euclide.
3. La définition était une proposition qui énonçait l'essence d'un objet mathématique. Par exemple : "Le cercle est le lieu géométrique des points équidistants à un point commun nommé centre"
Aujourd'hui les mathématiciens ont renoncé à cette distinction et depuis le XIX°, ils nomment "AXIOME" tous les principes mathématiques c'est-à-dire aussi bien les définitions que les postulats.
La définition moderne de l'axiome est la suivante : une proposition arbitraire (c'est-à-dire non démontrable), formelle et non intuitive.
Le raisonnement mathématique est :
- soit démonstratif (déductif, régressif, indirect, réduction à l'absurde.
- soit inductif (récurent)
Il permet de tisser des systèmes : L'AXIOMATISATION.
Comme en logique, on appelle l'ensemble de ces systèmes mathématiques : AXIOMATIQUE ou système HYPOTHETICO-DEDUCTIF
(même sens).
(Attention à des sujets de Bac du type : "La philosophie est-elle un système hypothético-déductif" ? Oui, elle l'est)
Pour fabriquer un système cohérent c'est-à-dire une axiomatique, il faut d'abord énoncer des axiomes. Tous les axiomes doivent être compatibles, indépendants et en nombre suffisant, voir cours de Logique.
Les axiomatiques sont donc des systèmes purement formels, fabriqués, à partir d'axiomes, avec des objets mathématiques, ordre, nombre, et des structures logiques. A partir de là, se tissent des enchaînements opératoires absolument logiques et cohérents. Toutes les combinatoires sont possibles pourvu qu'elles obéissent aux lois logiques et qu'elles respectent les axiomes de base. Mais comme dans le cas de la logique formelle, les axiomatiques ne se réfèrent pas du tout au monde concret, ni à la vraisemblance, ni à l'expérience, ni même à l'intuition. De même que les nombres irrationnels elles peuvent, à la limite être " impensables", et même "incalculables", "irreprésentables". Ce sont donc de pures constructions mentales de l'esprit dans son activité logique. Imaginons quelqu'un qui tricoterait avec toutes sortes de matériaux, toutes sortes de formes. Et encore, l'analogie n'est pas bonne, parce que l'on peut imaginer ces formes tricotées, alors que dans l'axiomatique on sort complètement du monde réel et même de celui de l'image qui reste trop près du concret.
En 1931, Gödel, mathématicien, énonce un théorème (devenu très célèbre) sur l'incomplétude de l'arithmétique formalisée. Théorème selon lequel "il est possible de construire une interprétation du système formel dans laquelle figure une proposition vraie représentée par une expression formelle indémontrable". Il veut dire que la cohérence d'un système mathématique ne peut pas être démontrée à l'intérieur de ce système. Aussi loin qu'on aille dans une théorie il arrive nécessairement un moment où il contient une proposition et sa contradiction.
On a exagéré la portée de ce théorème en prétendant qu'aucun système ne pouvait se justifier de l'intérieur de lui-même, et on en a déduit la relativité de toute connaissance, donc l'impossibilité d'accès à la vérité. (Voir le N° de Science et Avenir de janvier 2000.)
Exemples d'axiomatiques simples
1.- L'arithmétique
2.- La géométrie euclidienne : Postulat devenu Axiome : une seule parallèle à une ligne droite.
3.- La géométrie non euclidienne de Riemann, 1826-1866 : Par un point extérieur à une ligne, il ne passe aucune parallèle. Création d'un univers à courbure positive ; géométrie sphérique.
4.- La géométrie non euclidienne de Lobatchevski, (Russe, 1793-1836) : Par un point extérieur à une ligne on peut mener une infinité de parallèles à cette ligne. Invention d'une géométrie hyperbolique, d'un univers à courbure négative, ( en "selle de cheval"), disent les mathématiciens.
Les axiomaticiens ne s'intéressent pas au réel. C'est pourquoi l'on peut parler d'une irréalité de la mathématique.
"On peut définir les mathématiques pures comme une science où l'on ne sait pas de quoi l'on parle, ni si ce que l'on dit est vrai." Russell (mathématicien 1872-1970)
Donc la mathématique ne devrait en aucun cas s'appliquer au monde réel. Or la surprise est immense et apparemment incompréhensible :
De nombreuses axiomatiques s'adaptent au réel ou en tout cas en expriment la structure.
Lesquelles ? Comment est-ce possible ?
On appelle mathématisation le fait d'exprimer le réel par le langage mathématique.
La mathématisation est l'application de la mathématique au monde réel concret. Comment est-ce possible puisque la mathématique semble être une pure construction de l'esprit.
1.- Arithmétique : application à l'économie.
2.- Géométrie euclidienne : indispensable dans les activités de menuiseries, d'architecture, d'urbanisme.
3.- Géométrie Riemanienne : en 1911 Einstein découvre la "Théorie de la relativité".
Il affirme : Voir le cours sur la cosmologie.
a) L'espace et le temps ne sont pas absolus. "Le monde est un continuum quadridimensionnel espace-temps" (l'espace est un monde à 3 dimensions, le temps est la 4ème dimension).
Relativité des dimensions de l'espace et du temps (cf le paradoxe de Langevin: "Un voyageur qui quitterait la terre avec une vitesse proche de celle de la lumière (300.000 km/s), et qui y reviendrait au bout de deux ans de son temps propre, trouverait la terre vieillie de deux siècles !"
b) L'espace est une propriété physique de l'univers
Il est incurvé, analogue à celui de RIEMAN. La géométrie de Riemann est valable pour l'espace à l'échelle cosmique.
c) "La masse n'est pas constante, elle croît proportionnellement à la vitesse et deviendrait infinie si elle atteignait celle de la lumière. E=MC2 ".
4.- La géométrie Lobatchevskienne permet d'exprimer :
a.- La courbure des rayons grâce auxquels nous percevons les couleurs
b.- Les courbes de l'univers au voisinage des trous noirs qui déforment l'espace.
L'espace en effet n'est pas homogène.
5.- Une suite arithmétique simple (elle n'est pas une axiomatique au sens propre mais elle en dépend) peut servir de "matrice sociométrique" ou de "sociogramme", c'est-à-dire de structure formelle servant à décrire des phénomènes de société. Par exemple, la distribution de la violence dans les poulaillers (structure de la distribution des coups de becs), obéit à un ordre mathématique et logique parfaits. En effet, une poule attaque toutes les poules, deux poules sont attaquées par la première et attaquent toutes les autres, sauf la première, selon le schéma 1,2,3,4,5,6, etc. et selon le nombre de poules, à partir d'un certain nombre, l'ordre décroît. Finalement, une poule reçoit tous les coups de bec et n'en donne aucun. On a relevé un schéma identique de distribution de l'agressivité, dans une crèche d'enfants sans surveillance!
Du leader au bouc émissaire, si la violence est irrationnelle en soi, sa structure est rationnelle !
6.- L'algèbre de Boole (elle n'est pas non plus une axiomatique au sens propre mais elle en dépend) a servi de modèle pour exprimer la structure de la double hélice de l'A.D.N. au moment de sa découverte par Crick et Watson, et sa combinatoire de base 4.
Il existe de nombreux exemples de mathématisations, nous n'avons choisi pour ce cours que les plus simples.
" Dans la conception axiomatique, la mathématique apparaît comme un réservoir de formes abstraites, les structures mathématiques, et il se trouve, sans que l'on sache bien pourquoi, que certains aspects de la réalité expérimentale viennent se mouler en certaines de ses formes."
Bourbaki 1948
C'est cette constatation qui faisait dire à Einstein :
"Il est incompréhensible que le monde soit compréhensible" Einstein.
Et en même temps, c'est cette possibilité d'exprimer le monde qui confère à la mathématique son prestige :
La science mathématique est appelée : science "régalienne" ou reine des sciences.
1. La mathématique est à la fois un langage, composé de symboles abstraits univoques et universels. Elle se rapproche d'un langage parfait.
2. Un instrument à la fois de jeu et de connaissance
3. Un outil adéquat pour la science. Or la science permet de maîtriser le monde.
4. Enfin, à notre époque non seulement elle permet "mesurer" l'intelligence, mais elle sert le plus souvent de critère d'intelligence.
5. L'essence de la mathématique |
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Différentes théories proposent d'expliquer la convergence de la mathématique et du réel.
1.- Théorie de Platon : Idéalisme, les modèles intelligibles des êtres existent dans le monde métempirique, au-delà du monde sensible. Le "réel" n'en est que l'ombre. Cf. Caverne, cf mythe d'Er archétypes ( voir le Peson)
2.- Théorie de Descartes : Rationalisme, Dieu est un être parfait. Le monde est sa création. L'ordre du monde reflète la perfection du divin. Dieu a créé l'humanité à son image, disposant d'un outil parfait pour comprendre le monde : la raison. L'ordre mathématique est l'expression de la perfection du divin dans le monde. Ainsi, la raison peut comprendre et le monde et Dieu Théorie déjà vue dans le cours sur la Logique.
3.- Théorie de Hume et de Stuart Mill : L'Empirisme. La perception répétée des objets du monde a laissé des "empreintes" dans notre esprit (un peu comme les traces des roues dans les chemins). La mathématique est le résultat de la stratification de nos expériences.
4. - Théorie de Kant : le TRANSCENDANTALISME ou transcendantale.
(Voir le cours sur la Logique). Les catégories de l'entendement ( Quantité, Qualité. Relation. Modalité.) contiennent les principes de la logique et de la mathématique. L'esprit humain grâce à des structures a priori construit lui-même l'ordre logique et mathématique de l'univers. Donc l'ordre que nous trouvons dans le monde n'est pas l'ordre du monde, il provient de notre propre entendement (= notre Raison ou intelligence).
5.Théorie de WITTGENSTEIN : TRANSCENDANTALISME (version moderne de Kant (XX°), Ecole de Vienne.
"Représentons-nous une surface blanche couverte de taches noires irrégulières. Et nous dirons : quelle que soit l'image qui en résulte, je puis toujours en donner la description approximative qu'il me plaira, en couvrant la surface d'un filet fin, adéquat, à mailles carrées, et dire de chaque carré qu'il est blanc ou noir. De cette manière, j'aurais donné une forme unifiée à la description de la surface. Cette forme est arbitraire, car j'aurais pu tout aussi bien me servir d'un filet à mailles triangulaires ou hexagonales et obtenir un résultat non moins satisfaisant. Il se peut que la description au moyen d'un filet à mailles triangulaires eût été plus simple, c'est-à-dire que nous pourrions décrire la surface à l'aide d'un filet plus grossier, à mailles triangulaires avec plus d'exactitude qu'à l'aide d'un filet plus fin à mailles carrées ou inversement…(…) A ces différents filets correspondent différents systèmes de la description de l'univers."
Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, 6. 34.
Analysons la métaphore du filet : si l'on compare le mathématicien à un pécheur, le filet, c'est son outil : la mathématique. Or, ce que l'on pèche dépend de la structure et de la grosseur des mailles du filet. Il convient de s'interroger sur tout ce que le filet ne peut pas rapporter, c'est-à-dire sur ce que la mathématique ne peut pas exprimer. Voir la conclusion.
6.- Théories des biologistes = théorie de l'information : Influence de la génétique, cf J.P. Changeux : Le cerveau humain est l'organe le plus complexe produit pat la nature, les structures, les ordres qu'il est lui-même capable de produire ne sont-ils pas en analogie avec sa propre structure, elle-même reflet d'une structure biologique infiniment plus complexe ? Explication possible par la théorie de la circulation de l'information. La boucle, ainsi se referme. Les circuits d'information produits par la nature seraient en analogie avec elle et permettraient de comprendre la nature.
6. Rationalité du monde ? |
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Si la mathématique s'applique au réel cela signifie-t-il que le monde soit rationnel ? Totalement ou en partie seulement ?
Différentes positions théoriques sont possibles par rapport à cette question :
1. LE RATIONALISME
Thèse : La raison grâce à la mathématique peut expliquer la totalité du monde réel.
a. Théorie fondée sur deux axiomes.
- Le monde est rationnel, organisé selon un ordre rigoureux. Par exemple "Les nombres gouvernent le monde" Pythagore. Ou encore, "Le monde est écrit en langage mathématique" (Galilée).
- La raison est l'outil le plus adéquat pour comprendre le monde.
b. Descartes, Leibniz, Hegel, Comte, Marx ( pour ne citer qu'eux sont d'accord avec cette théorie.)
Démonstration facile : en mathématique, la notion d'infini englobe la totalité. Importance de la mathématique pour exprimer le cosmos, la physique, la chimie, la biologie et même la psychophysiologie (la mémoire, les différents états de conscience grâce aux E.E.G., l'intelligence se "mesurent"), la sociologie (statistiques), l'art (musique et mathématique, architecture peuvent s'exprimer par des structures mathématiques.) Le langage et même le désir! (Cf. courbe de Master et Jonhson aux U.S.A.). La totalité de ce que nous savons sur monde peut s'exprimer en 50 formules mathématiques. Mais justement nous sommes loin de savoir tout.
2. LE SUPRA-RATIONALISME :
Une "région" du monde est placée au-dessus de la raison.
a) Théorie fondée elle aussi sur deux axiomes.
- Le monde est en partie rationnel, mais il y a les "régions d'être" au-dessus de la rationalité, par exemple : le divin.
- La raison est utile, indispensable, mais pas suffisante. Relais nécessaire par une autre faculté (l'intellection pour Platon, intelligence "noétique", intuitive, au-dessus de l'intelligence "dianoétique" ou rationnelle ou encore, "l'esprit de finesse" dont parle Pascal.
b) Supra-rationalistes : Platon, Pascal, Spinoza :
"Deux excès : exclure la raison, n'admettre qu'elle". Pascal
et le courant néo-gnostique contemporain, (congrès de Cordoue, TSUKUBA, école de Princeton).
3. L'ANTI-RATIONALISME
Le monde est irrationnel. La raison est inutile
Théorie fondée sur les deux axiomes suivants :
- Le monde est un chaos de forces irrationnelles, forces de vie et pulsions.
- La raison est une petite architecture dérisoire et vide par rapport à ces forces. Elle est un leurre, une sorte de "toile d'araignée", selon Nietzsche. Le rationaliste, au centre de sa toile, se croit illusoirement au centre du monde.
Théorie défendue par des penseurs très différents : Schopenhauer, Nietzsche, Bergson (pour qui l'intelligence n'est qu'une retombée de l'élan vital). Les formes exacerbées du mysticisme. Le romantisme. Le Surréalisme.
Théorie du nazisme.
4. L' AGNOSTICISME
Il est impossible de savoir si quelque chose existe au-delà de nos discours
Axiomes
- Hétérogénéité les régions de l'être = l'existence est hétérogène : il y a dans l'univers différentes manières d'exister, des domaines différents, qui n'ont pas les mêmes structures, ni les mêmes lois.
- La raison n'est pas un outil adéquat pour tout expliquer dans le monde. Cf. Kant. Wittgenstein ( cf p4).
- Freud : L'inconscient existe, d'une part c'est un domaine qui fonctionne en dehors de toute catégorie logico-mathématique, et d'autre part il est un grand maître de l'illusion. Nous projetons, à notre insu, tout ce que nous sommes sur le monde.
- Lévi-Strauss: L'Univers (le Tout) est plus complexe que le cerveau (1ére partie). L'homme ne peut pas le comprendre totalement par sa raison, il y a de "l'inaccessible" = de l'inconnaissable (cf Tristes Tropiques)
5. LE SURRATIONALISME
Le monde est complexe, il faut élargir la raison, la complexifier
a) Axiomes
- Le monde est plus complexe que la raison humaine.
- Mais, la RAISON doit et peut EVOLUER = S'OUVRIR= GRANDIR = MURIR = dépasser le rationalisme classique (celui de Descartes) par une mutation c'est-à-dire une complexification de ses structures. C'est la thèse soutenue par BACHELARD.
Mathématique exprime :
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Mathématique ne peut pas exprimer :
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La quantité : tout ce qui peut être mesuré.
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La qualité pure : ce qui relève d'un "prix" non quantifiable donné par la conscience :
Le beau, le vrai, le juste, le bien, le sacré…
= domaine de l'axiologie. |
L'espace.
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Tout ce qui n'est pas spatial, le psychisme par exemple, l'affectivité, l'amour la joie, l'inconscient, la liberté… |
L'ordre : ce qui implique des relations entre plusieurs éléments.
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L'unicité. Ce qui est absolument unique et ponctuel, par exemple ce centre de subjectivité invisible qu'est la conscience de chacun. |
LIMITES DES MATHEMATIQUES
Texte de Russel :
"Notre savoir sur le monde matériel, je le répète, est beaucoup p1us abstrait qu'on ne se l'imaginait autrefois. Entre les corps, il se produit des incidents, par exemple des ondes lumineuses ; sur les lois qui régissent ces incidents nous avons quelques lueurs - nous savons ce qui est inscrit dans les formules mathématiques, un point c'est tout : mais de leur nature, nous ignorons tout. En ce qui concerne les corps eux-mêmes, notre ignorance est telle que nous ne pouvons même pas affirmer qu'ils existent ; il se pourrait qu'ils soient simplement des familles d'événements disséminés par-ci par-là, événements que nous sommes naturellement enclins à considérer comme leurs effets. Nous interprétons le monde plastiquement ; autrement dit, nous pensons qu'en gros les choses se passent comme nous les voyons. Mais en fait cette ressemblance s'arrête à certaines propriétés formelles d'ordre logique qui expriment une structure, et tout ce que nous pouvons connaître, ce sont certaines caractéristiques des modifications qui affectent cette structure. Peut-être une image va-t-elle faire comprendre les choses. Entre l'interprétation d'une symphonie, et la partition de cette symphonie, il existe une certaine ressemblance, dite de structure. La ressemblance est telle que, connaissant la grammaire musicale, vous êtes à même de déduire indifféremment la musique de la partition écrite ou la partition écrite de la musique. Or voilà que vous êtes sourd de naissance, mais que vous avez toujours vécu en compagnie de musiciens. A force de parler et de lire sur les lèvres, vous finirez par comprendre que les partitions musicales sont les symboles de quelque chose dont l'essence intime est radicalement différente mais dont la structure est la même. Vous ne pourrez jamais vous faire une idée de ce que peut représenter la musique, mais vous pourrez en faire toute la mathématique, puisque la mathématique de la musique est la même que la mathématique de la partition écrite. Eh bien c'est un peu comme cela que nous connaissons la nature. Nous savons en lire les partitions, et par le raisonnement nous pouvons apprendre sur elle tout ce que le sourd apprend sur la musique. Mais il a sur nous un avantage : il peut communiquer avec les musiciens. Nous, nous ne saurons jamais si la musique écrite dans nos partitions est sublime ou grotesque ; peut-être même qu'en dernière analyse... (mais c'est un doute que le physicien, au cœur même de son travail, n'a pas le droit de nourrir) peut-être nos partitions ne figurent-elles rien d'autre que le silence de leur propre écriture."
RUSSELL dans ABC de la relativité p. 182.183
Selon Russell la mathématique décrit une structure, mais ne nous dit pas ce qu'EST le monde, ni même s'il EXISTE.
Musique sonore, perçue avec l'ouïe. |
Musicien interprète.
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Partition musicale. |
Sourd
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Expression mathématique de la musique. |
Le monde tel qu'il est en dehors de notre perception. |
? |
Notre "partition" = la perception du monde que nous donnent nos 5 sens. |
Mathématicien
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Expression mathématique de la nature. E = mc2.
Monde compris par la raison. |
D.Desbornes. 2012